Centres étrangers, mars 2023

On considère la fonction  \(f\) définie sur  \(]-1,5\ ;+\infty[\) par \(f (x) = \ln(2x + 3) − 1\) .
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite \((u_n)\)  définie par  \(u_0 = 0\)  et \(u_{n+1}=f (u_n )\) pour tout entier naturel \(n\) .

Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction  \(g\) définie sur   \(]-1,5\ ;+\infty[\) par \(g (x) = f (x) − x\) .

1. Déterminer la limite de la fonction  \(g\) en \(-1,5\) . 
On admet que la limite de la fonction  \(g\) en  \(+\infty\) est \(-\infty\) .
2. Étudier les variations de la fonction  \(g\) sur     \(]-1,5\ ;+\infty[\) .
3. a. Démontrer que, dans l’intervalle \(] − 0, 5~ ; +∞[\) , l’équation \(g (x) = 0\)  admet une unique solution \(\alpha\) .
    b. Déterminer un encadrement de   \(\alpha\)  d’amplitude \(10^{−2}\) .

Partie B : Étude de la suite \(\boldsymbol{(u_n)}\)

On admet que la fonction  \(f\) est strictement croissante sur  \(]-1,5\ ;+\infty[\) .

1. Soit  \(x\) un nombre réel. Montrer que, si \(x ∈ [−1 ~; \alpha]\) , alors \(f (x) ∈ [−1~; \alpha]\) .
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel  \(n\) , \(−1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\) .
    b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.